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菜市場政治學》兩黨追求中間選民,那第三黨跑進來會發生什麼事?

在中位選民理論中,當有三位候選人時,是沒有平衡的,因為總是會有一個人想改變自己的位子來改變選舉結果。

王宏恩

上次我們在〈為什麼百年大黨會派出選不贏的激進候選人?〉文章當中,討論到黨內初選跟大選之間的差異,使得大黨候選人會形成雙重賽局,必須在初選討好黨內比較極端的支持者才會勝選,在大選時又需要改變自己的立場去追求中間選民。在我們討論時,都是關注兩個候選人的狀況,但民主制度下人人可以參賽。那假如多了第三個黨跑出來,會發生什麼事?

在這裡,我們先回顧一下上次討論的中間選民定理。假設一個國家裡只有一個重要的政策,而這國家裡11位選民(從深藍色到深綠色)對這個政策有不同方向的建議,有人覺得要越藍越好,有人覺得要越綠越好,但也有人覺得在中間灰色比較好。

在這國家內,有兩位候選人,企鵝跟貓咪,他們都想要追求當選,因此需要過半的票數6票。而且我們假設這國家每個人投票時,都是看自己跟檯面上候選人的距離,他們會投給距離最近的一位。(賽局理論在推論時都有基於許多數學上的假設,我們可以去考究每一個假設是否合理)。在這些假設之下,假如企鵝跟貓咪分別站在左四跟右五,那左五的淺藍或投給企鵝,中間的灰色覺得貓咪比較近而投給貓咪,最後貓咪拿到6票勝選,企鵝拿到5票。

所謂的中間選民定理(Median Voter Theorem),就是指在這樣一個維度、兩個候選人、大家照距離來投票時,候選人站在最中間那位的位置就會贏了,也就是圖上11位選民最中間的灰色選民的位置。舉例來說,當貓咪跑到中間,企鵝不動時,貓咪可以獲得6.5票,企鵝則可以獲得4.5票。而且企鵝不管站在哪裡,票都不會比貓咪多。唯一能做的,就是把貓咪推離開中間選民的位子,然後自己踩上去。這也是為什麼這種只選一位的選舉中,兩位候選人最後政見都會很像,然後都想指責對方極端,因為大家都想要站在中間選民的位子上。最後,兩個人都會站到最中間,沒有人想離開,離開就輸了,因此整個賽局取得了平衡(Equilibrium),也就是沒有人會想先動。

那,此時第三位候選人,醫生先生,跑進來參選,他可以站在哪裡?

首先,我們先假設醫生先生可以站在任何他想站地方,本來已經在選的企鵝跟貓咪選擇不要管他就好了。於是醫生先生選擇站在右五的淺綠色之處,然後選民們照距離投票。在剎那之間,醫生獲得5票,貓咪獲得2票,企鵝獲得4票,醫生獲勝。

這麼容易就獲勝了,那當初企鵝跟貓咪在爭甚麼?

在中位選民理論中,當有三位候選人時,是沒有平衡的,因為總是會有一個人想改變自己的位子來改變選舉結果。舉例來說,在上面這張的狀況下,企鵝跟醫生先生都會越來越往中間靠近,因為想要把貓咪給夾殺,把貓咪的支持者都拿走。但當企鵝跟醫生先生都太靠近中間時,貓咪就可以跳到本來醫生先生一開始的右五的地方,瞬間又變第一高票,醫生先生變成在中間被夾殺。同樣的輪迴可以不斷重複,因此不管在任何狀況下,都會有候選人有動機來改變自己的位置改變結果,因此這是不穩定沒有平衡的。

假如隨便來一個候選人就可以動搖兩黨政治,聽起來好像蠻誘人的。但兩大黨當然不會讓這種是輕易發生。加州理工學院政治經濟教授Palfrey在1984年的這篇文章中,就透過數學推導,算出本來在追逐中間選民的兩大黨,在發現有第三黨想要跑進來時,會理性地離開中間選民的位置,而是各自往左右站開三分之一處,擺好陣型,如下圖。在這樣的陣型中,不管醫生先生想要從左切入、從右切入、切它們中路,票數都會少於貓咪或者企鵝其中一人,也就是永遠不會勝選。最後,醫生先生就會放棄參選。而當候選人回到兩位,貓咪跟企鵝又會重新追逐中間選民了。(當然在這模型中假如改變一些假設,三人以上參選的可能還是存在。 例如這篇文章所示。)

假如兩大黨來這招,那第三黨不就永遠進不去了嗎?許多小黨此時的一招,就是另闢戰場:我不跟你們在第一維度玩了,我直接加開第二維度!當多了一個Y軸時,選民們的分布就不再只是一條直線,因為大家對Y議題也有不同的看法。假如第三黨正好在Y議題上取得某些選民的共鳴,他就可以藉由改變戰場的方式來取得選票,進而打亂原本的兩黨平衡。

舉例來說,假設第三黨帶來的全新議題是:全民都改用蘋果電腦!在全體選民中,中間的5位選民對這議題感興趣,但左右6位對這議題無感,而我們假設原本的兩大黨候選人企鵝跟貓咪也對這議題無感,因此整個戰場變成這樣:

要注意的是,原本的11位藍綠選民,在原本X軸上的值都還是保持不變的。而貓咪跟企鵝也都還各站在原本防止第三黨進入的左右三分之一處。但因為醫生先生高舉一個新的議題蘋果電腦(Y軸),而中間五位選民正好對Y軸這議題也有正向的想法,因此最後總結來說,醫生先生高舉蘋果電腦議題進入選戰,同時對原本藍綠議題站在中間。11位選民重新計算相對位置後,有5位選民離醫生先生比較靠近而投給他,因此最後醫生先生就能靠這新議題當選。

大家可以想像,當議題維度變成二維時,有X軸跟Y軸,選民又有各種分布,幾乎不太可能可以找到一個穩定的均衡。在數學計算上,當選民分布在二維空間裡,除非是一些極端對稱的分布,否則幾乎任何點都可以被另外一點打敗,也就是整個分布沒有任何賽局均衡,候選人永遠可以跑來跑去繞圈子找到最新的結果(但在那些特定的分布中,某些區進中間的結果可以打敗某些以外的所有結果,這個小圈子的較佳解被稱作是局卵Yolk,欲知更多詳情,請搜尋社會選擇理論social choice theory,保證進得去出不來)。

舉例來說,假如貓咪認知到蘋果電腦的重要性,他只要登高一呼說自己也部分支持蘋果,那就可以把醫生的票又都搶回來了,如同下面這張圖的分布,貓咪往上移,搶了醫生先生的票。而企鵝也會比照辦理,最後還是夾殺醫生。

最後要講的是,這些都只是數學上的計算。在實際政治上,有許多小黨確實努力開創新的議題,例如歐洲海盜黨強調政府開放透明、開放版權、有些黨支持脫歐、而台灣也有小黨支持如林書豪、健保免費、保護老樹、重機權益、甚至是清流效率等議題。但這些小黨在開創新維度的同時,會面臨四個問題。

第一,假如這新議題真的如此重要又有選票,兩大黨通常早就做了。因此許多議題到最後都被兩大黨吃下來,這在民主制度裡是常發生的事。

第二,兩大黨當然也會不希望開出第二議題戰場導致整場大選變得不穩定不可預測。因此會撲天蓋地的要大家討論第一維度,讓大家忘記第二維度。

第三,就是通常人們對政治的興趣有限,無法接觸過多議題,選擇投票往往就是一個議題維度就決定了。舉例來說,台灣過去的研究都指出,台灣民眾在投票選擇上大多只基於一個維度,而台灣最重要的這個維度就是中國因素與國家定位偏好的議題,第二個維度(通常是左右派)對投票選擇沒有解釋力。

第四,許多小黨發現議題要嘛大家不關心、關心的議題又會被大黨吸收,到最後剩下的就是小黨黨魁的個人魅力,也就是「相信我之術」。黨魁的個人魅力就是個人魅力,這是其他兩大黨無法改變的,所以這些小黨黨魁往往的訴求就是「大家都很爛,只有我最好,只有我值得相信!」這的確可以開出一個與眾不同的維度。但這樣的問題就在於,個人魅力來得快去得也快,而且就算真的要執政了,還是得面對傳統第一維度、大家最關心的議題,畢竟第一維度的議題就是因為重要難解,才會慢慢形成傳統的兩大黨。這也是為什麼許多強調黨魁魅力的民粹小黨,在歐洲快速興起,最近卻又接連挫敗的原因了。

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本文經授權轉載自菜市場政治學 兩黨追求中間選民,那第三黨跑進來會發生什麼事?

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