◎王宏恩／內華達大學拉斯維加斯分校助理教授
最近年底地方選戰逐漸加溫，尤其最熱鬧的台北市長選舉更占盡所有版面，各候選人的支持者與反對者無不時時刻刻緊盯著各網站平台各地征戰。但就在熱戰方酣的當下，出現了一個非常有趣的情景：整個八月，全國所有媒體，沒有任何關於台北市長選舉的民意調查！
根據維基百科上面的收集與更新全台所有媒體與團體的民調資料，國內媒體八月前最後一次是7/30的東森，然後就是9月1日的自由時報，中間整整三十一天沒有任何的民調出爐。
有趣的是，同樣是選舉前夕，四年前八月各個媒體跟團體至少公布了6次台北市長民調結果。而今年八月的另外幾大都市市長選舉也都有新民調數字：新北1次、桃園2次、台中4次、台南3次、高雄4次。感覺也不太能用「台北市等登記確定再做」來解釋。加上八月底正好是各候選人敲鑼打鼓登記參選的日子，這時候公布民調感覺最能衝流量吸引眼球了，為什麼就正好沒有人公布台北市的呢？
當然，這同時會是一個有趣的數學思考實驗：「假如各個候選人公布民調可能可以影響選舉結果（棄保效應），那假如不親自去問每一個媒體與政黨高層，我們永遠也不知道大家都不公布民調的理由，筆者也無意猜測。但麼是否在數學上存在某種狀況，讓三位候選人同時都不想公布民調結果呢」？
左起姚文智，柯文哲，丁守中。圖片來源：網路新聞
政治科學中的棄保效應（50周年慶）
棄保效應在政治科學中是策略投票的一環（strategic voting）。所謂的策略投票，就是選民們基於某些原因，決定不要投給自己最喜歡的候選人，而改投給其他人。這方面嚴謹的政治科學研究，奠基於正好今年滿五十周年的《A Theory of the Calculus of Voting》一書（Riker and Ordeshook 1968）。書中充滿數學加加減減，但簡單來說，就是選民們不想浪費手中的選票跟排隊投票的時間。因此假如真的要投票，會不希望把票「浪費」掉，而要投給能改變選舉結果、增加自己效益的候選人。
舉例來說，假如有三位候選人A, B, C，我最喜歡A，最討厭C，B勉強可以。但假如我已經知道A毫無當選機會，B跟C又還蠻接近可以一搏時，我可能就會放棄我最愛的A而投給勉強可以的B，目的是希望打敗我最討厭的C。但假如B看起來也沒啥機會，反正都不會贏，那我就還是投給本來最愛的A給他鼓勵一下好了。 （另外還有一種稱之為抗議投票protest voting，故意不投給自己最喜歡的候選人，這種狀況常出現在「自己最喜歡的候選人鐵定會贏，但決定要讓他贏少一點作為警惕」的時候。）
選民有那麼聰明嗎？在過去的政治科學學術研究中，1994年台北市長選舉是一個經典的案例。這是第一屆的直轄市長選舉，在當時黃大洲，趙少康，陳水扁三位競爭之下，因為黃大洲聲勢比較不看好，有20%偏好順序為黃＞陳＞趙的選民投給了陳，有12%偏好順序為黃＞趙＞陳的選民投給了趙，這就是棄保效應最直接的證據。（選舉結果得票率：陳水扁43.7%，趙少康30.2%，黃大洲25.9%）
左起陳水扁，趙少康，黃大洲，於市長選舉的辯論會上合影。圖片來源：網路新聞
選前民調作為選民棄保效應的動員手段
讀到這裡，讀者一定發現了選民要策略投票時最重要的參考依據：選前民意調查。選民對於候選人的偏好程度以及對於選舉激烈程度的認知，將決定選民會不會策略投票（不過對於要怎麼測量選民的偏好，以及怎麼測量選舉激烈程度，是學界還在爭議不休的話題，也是兩位學術前輩與筆者正在進行的研究論文之一。因此，選戰中的各個候選人假如有做民調的話，而假如結果是可以策動對自己有利的策略投票話，那麼就有公布民調來影響選舉結果的動機。反過來說，假如公布民調對自己不利的話，那麼候選人們就更可能把民調結果當作內部參考了。
三位候選人的民調分布範圍是有限的，怎麼樣加總都是100%。也因此這變成了一個數學問題：有沒有可能在某種民調的狀況下，三位候選人會都沒有公布民意調查的動機呢？
在這裡我們可以先來做一些假設：
假設一：有三位候選人X, Y, Z，民調支持度X > Y > Z，而X + Y + Z = 100％。
假設二：假設當其中兩位候選人的民調差距在10%以內時，選民就會覺得『夠接近』，否則就可能會覺得『差太多』，而落後的Y跟Z支持者正在考慮要不要策略投票。這當然是可以更動的數字，這裡只是假設。
從假設二可以接著推出條件三，條件四，條件五：
條件三：假設Y+Z>X。如果X比另兩位加起來還多，X就會公布民調，讓Y,Z支持者放棄選邊投票，所以X必須比Y+Z還要小X才不會公布民調。
條件四：假設Y>Z+10%。最後一名的Z跟第二名的Y夠接近，Z就會公布民調，企圖讓Z支持者不跑票，所以Y要比Z+10%還大Z才不會公布民調。
條件五：假設X>Y+10%。第二名的Y跟第一名的X夠接近，Y就會公布民調，企圖讓Z支持者轉而支持Y，所以X要比Y+10%還大Y才不會公布民調。
接下來就又是快樂的高中點線面數學時間了。假如我們要在座標平面上找到一塊區域可以同時符合上面兩個假設跟三個條件，先劃一點線，再加點細節，結果會是下面那塊塗色的區域，搭拉！
平面：因為X+Y+Z=1，所以只要知道X跟Y就知道Z，因此我們可以降一個維度，只要畫X跟Y的關係就可以自然推到Z
L1：因為X+Y+Z=1，X+Y一定<1，因此結果一定在L1 （X+Y=1） 的左下方
L2：因為假設一X>Y>Z，所以結果一定在L2 （X=Y）的右下方
L3：因為條件三Y+Z>X，所以1=X+Y+Z > X+X，所以結果一定在 L3 （0.5 = X） 的左邊
L4：因為條件五 X > Y+10%，所以結果一定在L4（X=Y+10%）的右下邊
L5：因為條件四 Y > Z+10%與條件五X>Y+10%，100%=X+Y+Z>Y+10%+Y+Z>3Z+30%，23.3%>Z，所以X+Y>76.6%，所以結果一定在L5（X+Y=76.6%）的右上邊
在這五條線同時交集的地方， 就是上面圖形中有顏色的區域。當民調正好落在這個區域的時候，X發現自己領先的不夠多（落在43%~50%間），Z發現自己還沒真的追上（落在10%~23%間），Y發現自己不上不下（落在26%~33%間），那就都決定先不要公布民調，等再努力一陣子再說好了。在這些嚴格的條件設定而且假設用民調來影響策略投票是存在的狀況下，從數學及邏輯推演上我們是可以找到一個大家都不想公布民調的區域。
從數學模型反思台北市長選舉
那麼這個區域可以用來解釋這次的台北市長目前的民調氛圍嗎？理論上不行，因為在民調中落後的Y（國民黨）與Z（民進黨）支持者不太可能為了要讓X（柯文哲）輸就策略投票給死對頭，例如我們很難想像民進黨支持者去投票給丁守中只為讓柯文哲落選。如同我一開始所說，這篇文章到最後是要尋找數學模型上的可能，是個數學問題，而走入數學模型而逐漸脫離實際政治解釋，也是政治學家常常進行的重要工作之一（可以google Formal Model or EITM, 有每年的暑期營隊可以參加）。
但假如我們把這次台北市長選舉過去25次民調結果跟這張圖來對照，到可以發現一些有趣的巧合。我先把民調裡面的「無反應」全部省略，然後把三位候選人的支持度等比例放大。
在過去一年的25次民調當中（以1至25的編號顯示），自七月開始的6次民調裡面有4次 （20, 21, 22, 25）正好落在這個範圍裏面，也包括最新的九月一日的民調數字，而且都是落在邊線附近，比例高達66.6%。相較之下，在七月之前的19次民調裡面，只有1次（8）落在這個範圍裏面，比例僅有5.2%，而且也是落在邊線附近。（就算把X跟Y對調或把Y>X的那些點鏡射過來也都沒有落在這三角形內）。除此之外，七月之前沒有任何民調數字靠近這個三角形的正中間，也就是（X,Y,Z） = （47.8%, 33.3%, 18.9%）。也就是說，在七月之後的民調數據「有可能」比較接近我們上面所推導的數學模型假設與條件。
當然，如同一開始所說，本文無意猜測為什麼各家都不公布民調結果，而上面的巧合也可以透過修改「假設」而得出不太相同的結論。但這篇文章可以作為一個政治科學裡面科學化思考的一個練習，在這裡面你看到了如何觀察現象，尋找現有的實證或形式理論支持，然後建立假設與數學模型，最後基於這些假設與條件來推導尋找理論上可能或不可能存在的狀況。
本文經授權轉載自菜市場政治學 什麼是棄保效應？為什麼會出現三位候選人同時都不想公布民調？
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